Logic GateЛогические элементы и таблицы истинности
Всё внутри компьютера — процессор, память, калькулятор — работает с двумя значениями: 0 (ложь, тока нет) и 1 (истина, ток есть). Логический элемент из нулей и единиц на входах получает одно значение на выходе.
Ниже для каждого элемента — обозначение, формула и таблица истинности, то есть значения выхода для всех комбинаций входов. Если входов n, в таблице 2ⁿ строк (один вход — 2 строки, два — 4, три — 8). Схемы с одинаковыми таблицами работают одинаково.
Бесплатно и без регистрации — на телефоне и компьютере.
НЕ (NOT) — инверсия, отрицание
| A | Q |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
Элемент с одним входом: меняет значение на противоположное — из 1 делает 0, из 0 делает 1. Кружок на конце обозначения означает отрицание, и у других элементов тоже.
Другие обозначения: ¬A, Ā, NOT A, !A
И (AND) — конъюнкция, логическое умножение
| A | B | Q |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Даёт 1, только когда оба входа равны 1. Похоже на обычное умножение: 1 · 1 = 1, в остальных случаях 0. Например, дверь с двумя замками открывается, только если повернуть оба ключа.
Другие обозначения: A ∧ B, A · B, A & B, A AND B
ИЛИ (OR) — дизъюнкция, логическое сложение
| A | B | Q |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Даёт 1, если хотя бы один вход равен 1; 0 — только когда оба входа 0. Например, звонок с двумя кнопками звенит от любой из них.
Другие обозначения: A ∨ B, A + B, A | B, A OR B
Исключающее ИЛИ (XOR) — сложение по модулю 2
| A | B | Q |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
Даёт 1, если входы разные, и 0, если одинаковые. При сложении двух битов последняя цифра суммы — это как раз A ⊕ B (в двоичной системе 1 + 1 = 10), поэтому XOR часто встречается в сумматорах.
Другие обозначения: A ⊕ B, A XOR B, A ^ B
И-НЕ (NAND) — штрих Шеффера
| A | B | Q |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
Отрицание AND: даёт 0, только когда оба входа равны 1. NAND — универсальный элемент: любую логическую схему можно собрать только из NAND; в микросхемах он встречается чаще всего.
Другие обозначения: A ↑ B, A NAND B
ИЛИ-НЕ (NOR) — стрелка Пирса
| A | B | Q |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
Отрицание OR: даёт 1, только когда оба входа равны 0. NOR тоже универсальный элемент.
Другие обозначения: A ↓ B, A NOR B
Равенство (XNOR) — эквивалентность
| A | B | Q |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Отрицание XOR: даёт 1, если входы одинаковые. Удобен для сравнения двух битов.
Другие обозначения: A ≡ B, A ↔ B, A XNOR B
Память: D-триггер
Элементы выше смотрят только на текущие входы. У D-триггера есть память: на каждом такте он запоминает значение на входе D и выдаёт его на выходе Q на следующем такте. В начале Q = 0.
Из триггеров и логических элементов собирают счётчики, регистры и конечные автоматы — например, управление турникетом или светофором.
| Такт | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| D | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| Q | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
Основные законы алгебры логики
- Двойное отрицание
¬¬A = A- С 0 и 1
A ∧ 1 = A,A ∧ 0 = 0,A ∨ 0 = A,A ∨ 1 = 1- С самим собой
A ∧ A = A,A ∨ A = A,A ∧ ¬A = 0,A ∨ ¬A = 1- Законы де Моргана
¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B,¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B- Распределительный закон
A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)- Свойства XOR
A ⊕ 0 = A,A ⊕ 1 = ¬A,A ⊕ A = 0
💡 Упростить выражение — значит убрать лишние элементы из схемы. В игре Logic Gate звёзды дают именно за это.
Игра Logic Gate
Logic Gate — бесплатная игра-головоломка, в которой нужно собирать схемы из логических элементов. На каждом уровне есть задание и таблица истинности: ставите элементы на поле, соединяете проводами и проверяете схему. Чем меньше элементов, тем больше звёзд.
7 глав, 42 уровня:
- Основы — 6 уровней. Знакомство с логическими элементами: NOT (НЕ), AND (И), OR (ИЛИ).
- XOR и NAND — 6 уровней. Новые элементы и как собрать их из простых.
- Комбинационные схемы — 6 уровней. Настоящие устройства внутри компьютера: сумматор, мультиплексор, дешифратор.
- Только NAND — 6 уровней. NAND — универсальный элемент: из него можно собрать любую схему.
- Сложные задачи — 6 уровней. Многобитные схемы и проверка мастерства.
- Память — 6 уровней. Последовательностные схемы: D-триггер запоминает один бит — теперь схема помнит прошлое.
- Автоматы — 6 уровней. Схемы с памятью на практике: кнопка, турникет, счётчик и последовательный сумматор.
- Каждый день новая головоломка и рейтинг дня
- Песочница: соберите любую схему и посмотрите её таблицу истинности и формулу
- Свои задачи можно отправить друзьям ссылкой
- На узбекском и русском языках; работает и без интернета